一、题目

如图，已知△ABC，AC=BC，以AC为直径作圆O交AB于点D，交BC于点E，连接DE.CF是圆O的切线，BF⊥CF于点F，若BF=3，CF=4，则DE的长为________.

二、分析

1、分析主要条件，拓展已知条件

直接给出的有等腰三角形、直角三角形，由等腰三角形容易想到等腰三角形的重要性质——三线合一，由直径可以联想到直角三角形，连接AE、CD即可得到两个直角三角形，由等腰三角形的三线合一可得点D是AB中点，由勾股定理可得BC长，至此问题已基本理清.

2、明确问题类型，细化解题方向

本题属于求线段长的问题，常用勾股或相似.现已推导出中点，由中点容易想到两个基本方向：①构造中位线；②构造直角三角形斜边上的中线.DE正好是RT△ABE斜边上的中线，只要能求出AB的长，就可以得到DE的长.

分析至此，求DE的长是比较容易的，有两种方法：①利用相似和勾股求解；②构造矩形，利用矩形和勾股求解.

三、解答

如图，连接AE、CD

在RT△BCF中，由勾股定理，得

BC=√(BF^2+CF^2)=5

∴AC=BC=5

∵AC是圆O的直径

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴AD=BD，∠AEB=180°-∠AEC=90°

∴DE=1/2AB

接下来求AB，分两种方法：

1、利用相似和勾股求AB长（全等是特殊的相似）

∵CF是圆O的切线

∴∠ACF=90°

易证△CBF≌△ACE

∴AE=CF=4，CE=BF=3

∴BE=BC-CE=2

在RT△ABE中，由勾股定理，得

AB=√(BE^2+AE^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5

2、构造矩形，利用矩形和勾股求AB长

如图，过点B作BG⊥AC于点G

易证四边形BFCG为矩形

∴BG=CF=4，CG=BF=3

∴AG=AC-CG=5-3=2

在RT△ABG中，由勾股定理，得

AB=√(BG^2+AG^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5.

四、小结

1、求线段长，勾股或相似；

2、遇直径，构造直角三角形；

3、遇中点，构造中位线或直角三角形斜边上中线.