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弦长公式推导方向和技巧(含有等腰三角形和直角三角形的求弦长问题)

100次浏览     发布时间:2024-10-13 08:01:38    

一、题目

如图,已知△ABC,AC=BC,以AC为直径作圆O交AB于点D,交BC于点E,连接DE.CF是圆O的切线,BF⊥CF于点F,若BF=3,CF=4,则DE的长为________.

二、分析

1、分析主要条件,拓展已知条件

直接给出的有等腰三角形、直角三角形,由等腰三角形容易想到等腰三角形的重要性质——三线合一,由直径可以联想到直角三角形,连接AE、CD即可得到两个直角三角形,由等腰三角形的三线合一可得点D是AB中点,由勾股定理可得BC长,至此问题已基本理清.

2、明确问题类型,细化解题方向

本题属于求线段长的问题,常用勾股或相似.现已推导出中点,由中点容易想到两个基本方向:①构造中位线;②构造直角三角形斜边上的中线.DE正好是RT△ABE斜边上的中线,只要能求出AB的长,就可以得到DE的长.

分析至此,求DE的长是比较容易的,有两种方法:①利用相似和勾股求解;②构造矩形,利用矩形和勾股求解.

三、解答

如图,连接AE、CD

在RT△BCF中,由勾股定理,得

BC=√(BF^2+CF^2)=5

∴AC=BC=5

∵AC是圆O的直径

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴AD=BD,∠AEB=180°-∠AEC=90°

∴DE=1/2AB

接下来求AB,分两种方法:

1、利用相似和勾股求AB长(全等是特殊的相似)

∵CF是圆O的切线

∴∠ACF=90°

易证△CBF≌△ACE

∴AE=CF=4,CE=BF=3

∴BE=BC-CE=2

在RT△ABE中,由勾股定理,得

AB=√(BE^2+AE^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5

2、构造矩形,利用矩形和勾股求AB长

如图,过点B作BG⊥AC于点G

易证四边形BFCG为矩形

∴BG=CF=4,CG=BF=3

∴AG=AC-CG=5-3=2

在RT△ABG中,由勾股定理,得

AB=√(BG^2+AG^2)=2√5

∴DE=1/2AB=√5.

四、小结

1、求线段长,勾股或相似;

2、遇直径,构造直角三角形;

3、遇中点,构造中位线或直角三角形斜边上中线.

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